按理来说，求数列通项本应该属于数学范围，但ACM中也有数列推导题的出现，处于方便，笔者决定把一些常见数列整理出来。
注:笔者是一名十八线蒟蒻，如果有错误请在评论区下留言，谢谢您帮助我做得更好。
无！带上你的小脑瓜跟着学就是了！
众所周知，
(1)对于 a n = a n − 1 + d ( n ≥ 2 ) a_n=a_{n-1}+d(n\geq2) an=an−1+d(n≥2),我们有
a n = a 1 + ( n − 1 ) d , a_n=a_1+(n-1)d, an=a1+(n−1)d, S n = n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d 。 S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d。 Sn=na1+2n(n−1)d。
(2)对于 a n = a n − 1 ∗ q ( n ≥ 2 ) a_n=a_{n-1}*q(n\geq2) an=an−1∗q(n≥2)，我们有
a n = a 1 ∗ q n − 1 a_n=a_1*q^{n-1} an=a1∗qn−1
S n = { n a 1 , q = 1 a 1 ∗ ( 1 − q n ) 1 − q , q ≠ 1 S_n= \begin{cases} na_1, q=1\\ \frac{a_1*(1-q^n)}{1-q}, q≠1 \end{cases} Sn={
na1,q=11−qa1∗(1−qn),q=1
(3)对于 a n a_n an的通项是类似 ( a n + b ) q n (an+b)q^{n} (an+b)qn这种"一个等差×一个等比"时，求 S n S_n Sn可以通过错位相减法。操作略
(4)对于形如 a n = a n − 1 + f ( n ) a_n=a_{n-1}+f(n) an=an−1+f(n)的，我们可以通过构造式子的办法。
即构造
a n = a n − 1 + f ( n ) a_n=a_{n-1}+f(n) an=an−1+f(n)
a n − 1 = a n − 2 + f ( n − 1 ) a_{n-1}=a_{n-2}+f(n-1) an−1=an−2+f(n−1)
a n − 2 = a n − 3 + f ( n − 2 ) a_{n-2}=a_{n-3}+f(n-2) an−2=an−3+f(n−2)
…
a 2 = a 1 + f ( 2 ) a_{2}=a_{1}+f(2) a2=a1+f(2)
把上述所有式子加起来，化简消去，得到
a n = a 1 + ∑ i = 2 n f ( i ) a_n=a_1+\sum^{n}_{i=2}f(i) an=a1+∑i=2nf(i)
(5)对于形如 a n = a n − 1 ∗ f ( n ) a_n=a_{n-1}*f(n) an=an−1∗f(n)的，也是构造式子
a n = a n − 1 ∗ f ( n ) a_n=a_{n-1}*f(n) an=an−1∗f(n)
a n − 1 = a n − 2 ∗ f ( n − 1 ) a_{n-1}=a_{n-2}*f(n-1) an−1=an−2∗f(n−1)
a n − 2 = a n − 3 ∗ f ( n − 2 ) a_{n-2}=a_{n-3}*f(n-2) an−2=an−3∗f(n−2)
…
a 2 = a 1 ∗ f ( 2 ) a_{2}=a_{1}*f(2) a2=a1∗f(2)
全部乘起来，化简，得到
a n = a 1 ∗ ∏ i = 2 n f ( i ) a_n=a_1*\prod^{n}_{i=2}f(i) an=a1∗∏i=2nf(i)
（以上为高中生必备技能，请各位复习/预习一下）
(4)和(5)中的累加和累乘的方法很重要！
最后介绍一些常用公式。
1 + 2 + 3 + . . . + n = n ( n + 1 ) 2 1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} 1+2+3+...+n=2n(n+1)
1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 1^2+2^2+3^2+...n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} 12+22+32+...n2=6n(n+1)(2n+1)
1 3 + 2 3 + 3 3 . . . + n 3 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 1^3+2^3+3^3...+n^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2 13+23+33...+n3=(2n(n+1))2
Q：如何求解 1 k + 2 k + 3 k
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