使用MATLAB进行贝叶斯准则检测

贝叶斯检测原理

前提假设

代价因子:
C00–信号发0，并且接收为0的代价
C10–信号发1，接收为1的代价
C11–信号发1，并且接收为1的代价
C01–信号发1，接收为0的代价
先验概率：
PH1: 发送端，发送信号1的概率
PH0: 发送端，发送信号0的概率
概率转移机构：
p(x|H1): 发送端发送1时，接收端接收到的信号的概率密度函数
p(x|H0): 发送端发送0时，接收端接收到的信号的概率密度函数
注意，这里发送端发送的信号，无论是信号0，还是信号1，在发送之后就是一个确定的信号，但是接收端接收的时候接收到的时候确实一个随机的信号，是因为在信号中添加了随机的噪声，使得接收端的信号变成了随机的信号

判断原则

在接收信号的时候，总会出现接收到错误的情况，这时候，就需要付出代价（上面规定的代价因子就是其抽象），在更一般的情况下，即使接收到的信号正确，我们也付出了一定的代价。当然这些代价对我们来说是不利的，所以我们就想着让付出的代价，越小越好，这就是贝叶斯准则的基本思想。

推导过程

首先考虑代价由什么构成：发1和发0时候付出的代价构成。
发送1时候的代价：
$$C_{01}\times {\int }_{判为0的区间}p(x|H1)d_x+C_{11}\times {\int }_{判为1的区间}p(x|H1)d_x$$
从上面的式子中，我们可以看出，我们需要一个判决门限，来将x进行分类（分为1或者分为0），当然这个判决门限，现在还不知道，这里暂时先设为$R_0$，即当接收到的数据$x>R_0$的时候，判为1，否则判为0，上式重写为：
$$C_{01}\times {\int }_{-\infty }^{R_0}p(x|H1)d_x+C_{11}\times {\int }_{R_0}^{\infty }p(x|H1)d_x$$
类似分析可以得到，
发送0时候的代价
$$C_{10}\times {\int }_{R_0}^{\infty }p(x|H0)d_x+C_{00}\times {\int }_{-\infty }^{R_0}p(x|H0)d_x$$
于是可以得到发送一个信号付出的平均代价：对应的发送1的代价乘上发送1的概率，对应的发送0的代价乘上发送0的概率。
C a v g = P ( H 0 ) × { C 10 × ∫ R 0 ∞ p ( x ∣ H 0 ) d x + C 00 × ∫ − ∞ R 0 p ( x ∣ H 0 ) d x } + P ( H 1 ) × { C 01 × ∫ − ∞ R 0 p ( x ∣ H 1 ) d x + C 11 × ∫ R 0 ∞ p ( x ∣ H 1 ) d x } C_{avg} = P(H0)\times \{ C_{10}\times \int_{R_0}^{\infty}{p(x|H0)d_x} + C_{00}\times \int_{-\infty}^{R_0}{p(x|H0)d_x} \} \\ + P(H1) \times \{C_{01}\times \int_{-\infty}^{R_0}{p(x|H1)d_x} + C_{11}\times \int_{R_0}^{\infty}{p(x|H1)d_x} \} Cavg​=P(H0)×{ C10​×∫R0​∞​p(x∣H0)dx​+C00​×∫−∞R0​​p(x∣H0)dx​}+P(H1)×{ C01​×∫−∞R0​​p(x∣H1)dx​+C11​×∫R0​∞​p(x∣H1)dx​}
利用性质
$$\begin{gathered} {\int }_{R_0}^{\infty }p(x|Hi)d_x=1-{\int }_{-\infty }^{R_0}p(x|Hi)d_x \\ i=0,1 \end{gathered}$$
可将平均代价的表达式进行化简
$$\begin{gathered} C_{avg}=P(H0)\times C_{10}+P(H1)\times C_{11}+ \\ {\int }_{-\infty }^{R_0}[(C_{01}-C_{11})p(x|H1)P(H1)-(C_{10}-C_{00})p(x|H0)P(H0)]\times d_x \end{gathered}$$
由于先验概率，代价因子固定，概率转移机构固定（跟信道和环境有关，而不能认为改变），为了使的平均代价最小，只有使得积分最小，所以取所有使得积分里面的表达式为负数的x为属于信号0的判决域。
即
$$\begin{gathered} (C_{01}-C_{11})p(x|H1)P(H1)-(C_{10}-C_{00})p(x|H0)P(H0)<0 \\ 如果接收到的信号x使上式成立，判为发送方发送信号0 \end{gathered}$$
化简得：
$$\begin{gathered} \frac{p(x|H1)}{p(x|H0)}<\frac{(C_{01}-C_{11})P(H1)}{(C_{10}-C_{00})P(H0)} \\ 如果接收到的信号x使上式成立，判为发送方发送信号0 \\ \frac{p(x|H1)}{p(x|H0)}>\frac{(C_{01}-C_{11})P(H1)}{(C_{10}-C_{00})P(H0)} \\ 如果接收到的信号x使上式成立，判为发送方发送信号1 \end{gathered}$$

matlab实现

%贝叶斯准测使用
%背景介绍
%二元通信系统，在H1: A（常数），H0：0
%高斯白噪声N(0, sigam^2)
%P(H1) = 0.8, P(H0) = 0.2
%在信号的持续时间Tc内，进行N点独立采样
M = 10; %发送端发送的符号
N = 20; %在一个持续时间内，进行N点的采样
PH1 = 0.8; 
PH0 = 0.2;  %设置原信号发送的概率
sigma = 2;  %高斯噪声的方差为sigma^2
A = 5;
val_h1 = A;
val_h0 = 0; %设置每一种情况下的原信号
DATA0 = val_h0*ones(N, 1);
DATA1 = val_h1*ones(N, 1);  %发送的没有噪声干扰的原始数据
C00 = 1; C01 = 5; C10 = 6; C11 = 1; %设置代价因子
threshold = (C10-C00)*PH0 / ((C01-C11)*PH1);    %没有进行化简的原始的判决门限
error_time = 0;
noise = normrnd(0, sigma, [N, M]);  %需要叠加到信号上的高斯噪声矩阵
index = 1:M;  
for i = index
    H1 = DATA1 + noise(:,i);    
    H0 = DATA0 + noise(:,i);    %模拟真实的叠加完噪声的信号
    
    %通过随机数来模拟概率事件的发生,recieve代表接收到的信号
    if ( rand()<PH1 )
        recieve = H1;
        originalSignal = DATA1;
        flag = 1;   %代表发送端的信号是1
    else
        recieve = H0;
        originalSignal = DATA0;
        flag = 0;   %代表发送端的信号是0，便于后面进行错误概率的计算
    end
    if ( flag==1 ) 
        disp('发送的信号为：H1');
    else
        disp('发送的信号为：H0');
    end
    newThreshold = (log(threshold) + N*A^2/(2*sigma^2))*sigma^2/A;
    if ( sum(recieve) > newThreshold && flag==1 )   %这里使用了化简后的表达式，但是没有使用检验统计量
        fprintf('判决发送的信号为：H1,判决成功\n\n');
    else
        if( sum(recieve) < newThreshold && flag==0 )
            fprintf('判决发送的信号为：H0,判决成功\n\n');
        else 
            fprintf('判决失败\n\n');
            error_time = error_time + 1;
        end
    end
    subplot(2, 1, 1);
    plot((1:N), originalSignal);
    title('发送信号');
    xlabel('n');
    ylabel('value');
    subplot(2, 1, 2);    
    plot((1:N), recieve);
    title('接收信号');
    xlabel('n');
    ylabel('value');
    axis([0, N, -A, 2*A]);
    pause();
    
end
fprintf('错误判决次数为：%d，错误判决概率为：%f\n', error_time, error_time/M);